Чему учить в математике (написано в соавторстве с GPT-4)

Чему учить в математике (написано в соавторстве с GPT-4)

В написании этого подраздела был использован следующий ход: из статей Владимира Воеводского был взят список важных математических объектов, которые придумали математики в последние годы, но которые пока почти не используются в естественных науках: categories, sheaves, cohomology, simplicial sets. Затем взята идея «оснований математики» на базе унивалентной аксиомы: вместо логик разных порядков (формулируемых на базе теории множеств) иметь гомотопические уровни объектов разных типов (формулируемых на базе алгебраического выражения геометрических представлений о форме). Автор попросил GPT-4 рассортировать categories, sheaves, cohomology, simplicial sets по этим уровням. А потом попросил дополнить этот рассортированный список объектов другими важными объектами (важность определялась GPT-4 самостоятельно). Вот итог, в котором было вставленное по-русски дополнение про теорию порядков, это важно для выражения идей кардинализма и ординализма, например, в экономике, но всё остальное порождено GPT-4 и осталось нетронутым:

1. h-level 0 (contractible types):

   1. Point: A single point is a contractible space, as it can be continuously deformed into itself.

2. h-level 1 (propositions):

   1. Cohomology: Cohomology theories usually involve abelian groups or modules, which are sets, but the actual cohomology groups can be seen as propositions when considering them up to isomorphism.

   2. Equivalence relations: An equivalence relation on a set partitions the set into disjoint subsets, and can be seen as a proposition about the elements of the set.

   3. Equations: Mathematical statements that assert the equality of two expressions can be seen as propositions.

   4. вся теория порядков - предпорядки, решетки, соответствия Галуа и т.п.

3. h-level 2 (sets, и тут вычислимость, так как объекты стали различимы и можно вычислять их свойства):

   1. Chu spaces: A Chu space is a set-theoretic structure consisting of a set of states, a set of events, and a satisfaction relation between them.

   2. Categories: A category consists of a set of objects and a set of morphisms, along with composition and identity operations satisfying certain axioms.

   3. Simplicial sets: A simplicial set is a functor from the simplex category to the category of sets. The category of sets is an h-level 2 object, so simplicial sets can be considered at this level.

   4. Topological spaces: A topological space is a set of points, along with a collection of open sets satisfying certain axioms.

   5. Groups: A group is a set with a binary operation satisfying certain axioms, such as associativity, identity, and inverses.

   6. Functions: A function is a relation between a set of inputs and a set of possible outputs with the property that each input is related to exactly one output.

   7. Matrices: A matrix is a rectangular array of numbers, symbols, or expressions, arranged in rows and columns.

   8. Vectors: A vector is an element of a vector space, which is a set of objects that can be added together and multiplied by scalars.

   9. Sequences and Series: A sequence is an ordered list of elements, while a series is the sum of the terms of a sequence.

   10. Graphs: A graph is a mathematical structure consisting of a set of vertices and a set of edges connecting pairs of vertices.

   11. Probability Distributions: A probability distribution is a function that describes the likelihood of obtaining the possible values of a random variable.

4. h-level 3 (groupoids):

   1. Sheaves: A sheaf is a functor from a category (usually a topological space or a site) to the category of sets or groupoids, satisfying certain axioms. Since groupoids are at h-level 3, sheaves taking values in groupoids can be considered at this level.

   2. Lie groups: A Lie group is a group that is also a smooth manifold, with the group operations being smooth maps. Since groups are h-level 2 objects and manifolds are h-level 3 objects, Lie groups can be considered at this level.

   3. Fractals: A fractal is a complex geometric shape that exhibits self-similarity and has a non-integer dimension. Fractals can be considered at h-level 3 as they often involve groupoid structures.

Проблема в том, что переформулирование онтологии предметной области в терминах теории категорий как объектов с хорошо изученным поведением в терминах теории типов — это тяжкий и весьма объёмный труд, хотя его сегодня можно делать с использованием AI.

Но что потом можно будет сделать легче, или вообще сделать? Ответы пока не слишком внятны. В целом вроде как можно пройти по спектру формальности в сторону больших кусков проверенных формальных связных согласованных утверждений о мире. Но вот польза от этого пока не была продемонстрирована, и тут дело даже не в одном-двух примерах, необходимо демонстрировать что-то массовое и доведённое до практики (скажем, какие-то массовые инженерные расчёты).

В учебных программах ШСМ по интеллект-стеку можно использовать эти материалы как поправки к мета-мета-модели. Это не слишком формальная онтология, которая позволяет точнее и быстрее думать (но не вычислять более формально, о чём больше всего заботится подход унивалентных оснований математики в частности и теории гомотопических типов в целом). Пока понятно, что проблема не столько в отсутствии формальности в мышлении, сколько в плохих объектах для мышления на среднем уровне формальности, и выбирать объекты желательно так, чтобы потом проще было формализовывать, если это будет сочтено нужным.

Обучение математике тем самым стоит посвятить математическому мышлению, а не изучению поведения некоторых конкретных классов математических объектов. Если примерно понятно, как устроена математика в целом, что там в основаниях математики (foundational ontology), что на уровне «чистой математики» (изобретение новых видов математических объектов), что на уровне прикладной математики (использование вычислений с известными математическими объектами), то можно рассчитывать на то, что при встрече с какими-то проблемами в математическом моделировании можно будет разобраться хотя бы с постановкой задачи для математического AI. Конечно, нужно будет при обучении получить какие-то примеры таких связных рассуждений (что там в основаниях, как предложены какие-то конкретные важные математические объекты, какие модели и вычисления с ними делаются в естественных науках), но это именно примеры. Не стоит ожидать, что просто на изучении поведения объектов в каких-то «разделах математики» появится это математическое мышление. Конечно, если математику преподаёт какой-то «великий математик» (или «великий физик», которому нужна новая математика для его области физики), то может состояться неформальная передача этого математического мышления, но это будет у одного студента из десяти. Нужно же экономить время обучения: тому, что понятно про роль математики в науке и инженерии учить непосредственно, как и учить непосредственно тому, что и как в математике развивается.

Это открытый вопрос: можем ли мы поднять качество мышления в целом, если перетолкуем текущую математику выражения онтологии на гомотопии. С одной стороны — геометрические интуиции пространств, путей (траекторий), типизация вроде как вся остаётся (хотя её нужно будет перетолковывать). С другой — непонятно, насколько это поможет в мышлении «вот прямо сейчас». Учитывать нужно, что уже есть AI класса GPT-4 с Wolfram Alpha и выше, которые помогут в мышлении с «классикой». Но в любой науке есть идеи «удобных для мышления объектов» прошлых поколений, с использованием которых было наработано довольно много знаний. А потом всё равно приходилось перетолковывать этот огромный корпус знаний заново по мере получения более формальных, более точных, более универсальных знаний.

Если впрямую научить рассуждать про обычный мир вокруг в терминах объектов и операций, предлагаемых в основаниях математики (обычно хватает понимания 70-80 понятий для начального обучения мышлению в какой-то предметной области, тут можно ожидать такого же), то станет удобней мыслить об окружающем мире, и проще потом будет заниматься математическим моделированием. Такой подход поможет быстрее проходить развилку: чистая философия против физики, «думайте в терминах вот этих объектов» против «думайте в терминах вот этих объектов, и вы сможете что-то посчитать и сравнить результаты с измерениями». Самой математикой должны заниматься компьютеры, но обучать нужно тому, что в этих занятиях нет никакой магии, никакого «вдохновения» или «гениальной интуиции», но есть рациональные объяснения.

Высказывание «математика царица наук, но служанка физики» оказывается в каком-то смысле верным: математика открывает новые типы ментальных объектов и изучает их поведение, но затем эти объекты оказываются нужны для того, чтобы как-то отождествлять их с физическими объектами и судить по поведению математических объектов о поведении физических объектов. Физикам приходится тем самым ограничивать своё воображение только теми ментальными конструкциями (сконструированными из более мелких более крупными ментальными объектами), которые как-то соответствуют данным экспериментов. Из физиков вырастают великолепные руководители крупных организаций, но из математиков такого почти никогда не бывает. Но по мнению Александра Жаворонкова (CEO Insilico Medicine¹), для задач создания новых видов нейронных сетей, занимающихся решениями биологических и фармакологических проблем, лучше использовать математиков: они для таких задач оказываются немного креативней физиков, «отвязней» в своих догадках. Так что учить только физическому мышлению в его привязке к физическому миру не совсем правильно, нужно ещё и обучать математическому «отвязному» мышлению.

Что из математики надо знать «простым людям» (не-математикам) для того, чтобы точнее делать предсказательные/порождающие модели для своих самых разных ситуаций? Что «одинаковое в математике» вынести за скобки всех проектов и выучить один раз, чтобы потом по-быстрому применять во всех проектах? Идея о том, что «все будут профессиональными физиками» — не работает, «все будут профессиональными математиками» — тоже не работает, и даже «все будут профессиональными программистами» — так же не работает. Какой объём математических идей должен попасть в мышление (возможно, заменив сегодняшние «бытовые» мемы/эвристики/догадки более продуктивными, найденными математикой-физикой-информатикой), чтобы продуктивно использоваться в повседневном мышлении по решению самых разных классов проблем?

Тут надо бы слушать не столько самих математиков, сколько тех людей, которым математика зачем-то была нужна, и которые были бы и рады без неё обойтись, но не могут, ибо она оказалась полезней всего остального для их проектов. Первые из этих людей — физики, вторые — программисты (включая программистов систем искусственного интеллекта), третьи — инженеры, но математических модельеров надо искать и в других областях. Трудность в том, что они не знают ни современной математики, ни альтернативного способа организации обучения математике, поэтому расскажут только о том, как учили их самих и дадут какую-то оптимизацию этого старинного образования. «Всё новое приходит сбоку», прорывы в математическом образовании и использовании математики придут явно не от математиков.

Важнее всего оказывается разделить «содержание математики» на многочисленных её уровнях выше основания, «разделы математики» и собственно математическое мышление как способы наработки нового содержания математики, способы применения этого содержания к жизни, в том числе к другим трансдисциплинам, способы построения математических объяснений.

Есть сотни книг вроде как про «математическое мышление», скажем, Барбара Оакли, «Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее»². Эта (и многие другие похожие книги) больше похожи на курсы собранности, а не математики: там рассказывается про память, концентрированное и деконцентрированное внимание, прокрастинацию, а также дают прикладное знание по собранности, то есть дают постановку привычки учиться. И это всё дано бытовым языком, на байках и метафорах, теории собранности нет, только «лайфхаки». Книга оказывается не про математическое мышление как задание важных объектов внимания и операций с ними для рассуждений об использовании математических знаний в проектах. Книга также не про собранность в приложении к математике, но про «психотерапию для обучения математике» (терапия — это «ремонт», убираем отклонение от нормы, убираем недостатки).. Нет в книге ответов на вопрос «почему именно это» (объяснений), и на вопрос «как именно это нужно делать?! Легко сказать, что надо быть поэтом! И ещё хорошим поэтом! Но как именно?!» (нет описания методов). В книге не даются какие-то понятные принципы с понятной объяснительной теорией за ними, но даётся сборник психотехнических лайфхаков общего вида. Для постановки математического мышления хочется другого, больше похожего на старинную (больше двадцати лет назад) статью Атья и более новую статью Родина. Но Атья и Родин писали как математик для математиков. А надо писать для всех людей, и не как математик, а как учитель мышления, показывающий роль и место математики в ряду самых разных других трансдисциплин. Поместить математику в контекст, вот что важно!

Итого из относительно нового, что надо знать про математику в 21 веке:

• HoTT (homotopy type theory) и дальше теория категорий вместо теории множеств и FOL (first order logic) как foundation ontology для теории понятий «объектов и отношений» (теория понятий лежит в основании онтологии предметного мира), так и математики как непосредственно используемой онтологии физики и естественных наук (мат.объекты и операторы как отношения). Новый синтез геометрии и алгебры в математике.

• обсуждение «среднего уровня формальности» (informal type theory), то есть ходы на свободную формализацию и деформализацию, то есть изучение способов мышления на уровне «псевдокода», удобного для дальнейшей формализации и последующих строгих вычислений.

• Обучение математическому мышлению, «как оно там в математике устроено» вместо обучения «разделам математики» в надежде, что появится математическое мышление.