Обсуждение

Пример разных типов мышления из народного юмора: Физику, математику и инженеру дали задание — найти объём красного резинового мячика. Физик погрузил мяч в стакан с водой и измерил объём вытесненной жидкости. Математик измерил диаметр мяча и рассчитал тройной интеграл. Инженер достал из стола свою «Таблицу объёмов красных резиновых мячей» и нашёл нужное значение.

Вот я тоже заметил, что во всяких анекдотах суть этих "мышлений" передаётся лучше, чем прямым описанием. Скажем, знаменитый пример вагонов с туалетами Дейкстры.

Два замечания: 1) При изучении математики с 1-го класса складывается ложная обобщательная иерархия: натуральные числа — целые — рациональные — действительные — действиельные функции (или комплексные числа). Над каждыми следующими якобы можно делать всё, что делали с предыдущими и ещё что-то новое. Многие в результате думают, что, например, деление с остатком — это для младших школьников у которых ещё не было дробей. Или, не понимают, что деление на вектор не определено. Или, не понимают, что не следует вводить в модель лишние математические структуры. 2) Я бы попробовал ставить математическое мышление на примере теории графов: прострые определения основных понятий; простые доказательства ряда теорем, но есть сложные задачи с простыми формулировками; есть геометрический образ и есть алгебраическое представление; есть огромное число примеров вокруг нас и можно давать задачи перевода на язык теории графов практических ситуаций.

Я бы согласился тем, что введение операций над числовыми объектами ни разу не воспитывает хоть какую-то мыслительную интуицию. Графы тут вполне интересные объекты для показа математического моделирования, наверняка должны войти в программу. Но вот мыслят ли физики именно графами, когда пытаются обсуждать свой path integral? Вот же: https://abstrusegoose.com/142 (и должны ли мы давать в физике "действие" в общем виде, в многомерных пространствах, ни разу не сводящихся к физическому 3D пространству? Скажем, https://www.quora.com/In-physics-what-is-the-quantity-known-as-action — должны ли рассказывать про вот это, и как этот способ мышления применять к миру? Или это всё сугубо прикладное? Так что я бы задачу бил на стадии, которые обсуждаю в "курсе по курсам" (https://system-school.ru/teaching): сначала культуртрегерство (обоснование того, что и зачем нужно изучать, вот текущий пост как раз про такое), далее методология (что-то типа энциклопедии по тому объёму материала, который нужно будет освоить и тем способам его выражения, которые будем считать правильными для обучения) и только потом — "как будем подавать материал: с чего начнём, какие примеры будем приводить, что с чем увязывать, какие упражнения, какой глубины беглости владения материалом добиваться". То, что "ставить на примере теории графов" я читаю как "начинать с теории графов", то есть это для меня методическое (про способ обучения) замечание, а я бы сейчас решал методологические вопросы (что будет в результате обучения, какое мастерство, что будет уметь делать выпускник — это отличается от методического вопроса, "что в какой последовательности и на каких типах задач и упражнений ему давали").

Сама теорема математическая, но обсуждается её физическая интерпретация (так же как уравнения квантовой механики математические, но есть разные "интерпретации квантовой механики" — вот они как раз физические). Собственно, мои вопросы как раз про подобное сращивание физики и математики: использование математики для моделирования физических принципов (законы сохранения) и законов (соотношений, которые выполняются в физических системах при заданных законах сохранения).

1) Операции над числовыми объектами вполне воспитывают мыслительную интуицию, но их надо правильно подавать. Чтобы человек понимал, что операции похожие на арифметические можно вводить над другими объектами, например над симметриями. Сложение — это не обязательно обычное сложение на прямой, а может быть, например, и сложение по модулю (когда кусок прямой замкнули на кольцо). Что композиция преобразований — это тоже умножение (групповое). 2) Что значит мыслить графами? На мой взгляд мыслить графами — это не различать разные рисунки, которые изображают одинаковые графы. В этом смысле физики действительно мыслят графами, когда пишут диаграммы в квантовой теории поля, или когда рисуют электрические цепи, или водопроводные сети. И это очень полезный навык, т.к. такое неразличение — это уже моделирование с отбрасыванием несущественного (для данной задачи). 3) А как вообще задавать действие иначе, чем с помощью произвольных конфигурационных (или фазовых) пространств? При обучении физматике одна из проблем — преодоление излишней привязанности к 3-мерию и страха перед многомерными пространствами. 4) Ещё одна стандартная проблема — понимание того, чем внутренняя геометрия (с точки зрения плоской букашки живущей на поверхности) отличается от внешней (с точки зрения того, кто смотрит на поверхность из внешнего пространства). При этом важно понимание, что никакого "внешнего пространства" может не быть, например, что в общей теории относительности пространство-время искривлено с точки зрения внутренней геометрии. В приницпе данная проблема — частный случай проблемы с введением лишних структур, которые в теории не нужны. (Ещё одна из таких лишних структур — эфир в старой электродинамике.) Кстати, некоторые компьютерные игры с телепортами помогают понять идею внуренней геометрии: телепорт соединяет две области игрового пространства и персонаж просто переностится из А в Б без помежуточных этапов. Но чаще я на змейку ссылаюсь, где противоположные края экрана замкнуты друг на друга и игровое поле — тор (с точки зрения внутренней геометрии). 5) Я бы обязательно давал представление о программе геометризации физики, когда по образцу общей теории относительности другие поля тоже стараются свести к геометрии какого-нибудь пространства. Это на самом деле проникло в широкую культуру, например, в виде карт, где форма/размер стран определяются их населением/производством/чем-ниубдь ещё. Хотя у этих карт есть существенный недостаток: их рисуют на евклидовой плоскости не уточняя, что для них естественна другая (в каждом случае своя) геометрия.

Ну вот нет. Математика — это поведение идеальных объектов. Физика — это поведение реальных объектов. "Физическая интерпретация" — это онтологический вопрос, об отношении репрезентации.

Я вот согласен со всеми этими утверждениями, но могу добавить: у нас уже есть выстраданный курс, в котором мы даём теорию понятий (типы, то есть рассказываем про "похожесть объектов"), семантику (отношение репрезентации) и онтологию (отношение классификации). И вот после этого можно уже обсуждать, что слово "произведение" и слово "композиция" это термины, под ними может скрываться много понятий с разными между ними отношениями. И вот эти рассуждения про математику я бы прямо привязывал к продолжению этого курса, вводя все эти "поля", "симметрии", "произведения", "графы" как нормальные такие типы (идеальные объекты) для того, чтобы думать (то есть строить модели и рассуждать по этим моделям) о мире. И вот геометризация идёт всего подряд (на всех системных уровнях, типа "информационного поля" или "юридического пространства" — с этим нужно поразбираться, как об этом думать), а потом с этой геометризацией всё одно строить цепочки операций, то есть исчисления/алгебры. Замечу, что у меня математика три курса в вузе шла (я ж физхимик), а понятие исчисления как такового не давалось, хотя использовалось (дифференциальное исчисление мы проходили! И интегральное! А до вариационного не дошли, и само понятие не разбиралось — что же это такое, почему "исчисление" и каковы свойства "исчислений" и какие они бывают). И линейной алгебры так и не было, понятие "поля" так и не было введено — хотя "урощённый матан" преподавался, приходилось запоминать чёртову тучу каких-то теорем (я не запоминал, а на экзаменах ухитрялся как-то доказательства придумывать. И даже попадал своими придумками в доказательства по каким-то старинным учебникам, препод очень удивлялся, что я знаком с такой древней литературой. А я не знаком был, я прямо на экзамене такое придумал. Ума хватило, чтобы понять саму "идею докзательства", но само понятие "доказательства" как объекта тоже никто не давал — ни в школе, ни в вузе). И про математику как систему типов для моделирования мира или хотя бы физики не говорили (и до сих пор это, как я понимаю, даже на физфаках даётся "исподволь", этому не учат в явном виде — нет явных объяснений, просто долго говорят, и студент "привыкает". А объяснить потом словами это не может, "неявное знание в виде тумана в голове").

С формализацией понятия доказательства всё не так просто. См., например, М.Клайн "Математика. Утрата определённости", или Р.Пенроуз "Новый ум короля". Так что строгое и однозначное понятие доказательства не дают не потому, что не хотят, а потому, что не могут. Чтобы серьёзно обсуждать что такое доказательство, надо читать курс оснований математики (или глубокий курс логики). Дело, конечно, хорошее, но для большинства далёкое от приложений. Хотя, мне представляется, что для ИТ на высоком уровне это очень полезно. Что касается линейной алгебры, то это крайне полезный курс. Очень многие методы в дифф.уравнениях и уравнениях мат.физики — бесконечномерное обобщение линейной алгебры. Все принципы суперпозиции, когда решения можно складывать и умножать на число растут из линейной алгебры. Преобразование Фурье, если функция на решётке — задачка из линейной алгебры. Но линейная алгебра сильно недооценена студентами. Про матан всем понятно, зачем нужны производные и интегралы хотя бы в механике. А про линейную алгебру такого понимания у студентов обычно нет. У нас в МФТИ на кафедре высшей математики много выпускников и МФТИ и Мехмата. Первые обычно упоминают приложения, а вторые не упоминают. Есть замечательная теорема об возможности одновременной диагонализации двух квадратичных форм, одна из которых положительно определена. И почти никто из математиков не говорит, что если одна форма — кинетическая энергия, а вторая — потенциальная, то одновременная диагонализация квадратичных форму — нахождения собственных колебаний, когда система взаимодействующих осцилляторов сводится к набору невзаимодействующих осцилляторов. (Потом в урматах это превращается в стоячие волны.) Когда есть такие примеры, то физика делится с математикой своей интуицией.

Есть замечательная теорема об возможности одновременной диагонализации двух квадратичных форм, одна из которых положительно определена. И почти никто из математиков не говорит, что если одна форма — кинетическая энергия, а вторая — потенциальная, то одновременная диагонализация квадратичных форму — нахождения собственных колебаний, когда система взаимодействующих осцилляторов сводится к набору невзаимодействующих осцилляторов. Так откуда математики то узнают это? Физику они не знают и как правило и не любят. Я вот сейчас узнал из вашего коммента. То есть узнал какой таки возможный физический смысл имеют эти диагональные элементы второй матрицы (первая единичная). Проблема, впрочем, еще и в том что теорема о диагонализации двух квадратичных форм не попала в абсолютный технический минимум, и при малейшем урезании часов, она исчезает из изложения, и люди как бы с математическим образованием ее как правило не знают вообще (как и SVD).

Это не столько физика, сколько механика. А математиков обычно обучают на МЕХматах. Так что у нас в МФТИ про эту теорему математикам поочерёдно две кафедры говорят (теормех и теорфиз). И приложение здесь очень важное: первое приближение при изучении малых колебаний вблизи положения равновесия. Применяется почти всюду.

У меня это отдельный пункт в методике: я считаю, что для надёжного усвоения квант учебного материала должен даваться трижды (и вот тут картинка, как мы это учитываем — https://ailev.livejournal.com/1586894.html, хотя там предыдущая версия интеллект-стека из 17 трансдисциплин, где физика и математика явно не выделены). И ещё тут неявно поминается вот эта "репрезентация": если есть малые колебания вблизи какого-то равновесия (и понятие "колебаний" и "равновесия" давать тоже максимально абстрактно! это тоже типы! это необязательно "механика физических тел", это вообще "про изменения как таковые", если там хоть какое-то равновесие), то использовать вот такой-то расклад типов (одновременная диагонализация двух квадратичных форм) для его моделирования.

Про формализацию доказательств и что с этим делать я писал в предыдущем тексте этой серии, пару дней назад, в первом же разделе (и там дал ссылку на обзор развития теории доказательств): https://ailev.livejournal.com/1619346.html — и людям IMHO нужно давать понимание того, зачем вообще "доказательство" нужно и что будет зачтено за доказательство, а что нет. Это нужно делать, рассказывая про понятие формальности/строгости (сейчас к нему тоже "привыкают", но его не объясняют). В общих чертах, но обязательно рассказывать, давать пару-тройку упражнений на усвоение. Что касается "линейной алгебры", то для меня это дисциплина, а не курс. Я по-прежнему настаиваю на различении "курсов" и "дисциплин", между ними соотношение N:M и границы их тоже более-менее произвольно определяются, границы проводятся между дисциплинами и между курсами очень произвольно. Подробней я об этом рассказываю в курсе "мастерство обучать образованных" https://system-school.ru/teaching (и да, у меня в Школе большинство авторов курсов и преподавателей всё одно путают дисциплины и курсы — поскольку дисциплина более абстрактна, а курс весьма конкретен, то подменяют дисциплину курсом дисциплины!). Поэтому дисциплину линейной алгебры нужно давать, но что именно из её кучерявостей, включая современные наработки давать (это методологический вопрос) и в рамках каких курсов для кого и на каком уровне (методический вопрос) — эти вопросы нужно обсуждать отдельно. И культуртрегерство: кого и зачем учим как постановка задачи методологам. Учим не физиков, не математиков, учим подряд всех! Но эти "все" умные со способностями к рациональному мышлению, так сказать "обобщённые технари". И вот этот прототип "директора стадиона" — он из "обобщённых технарей", в директора из какого-то инженера пошёл. Вот и учить "инженера с прицелом на директора". Но инженер может оказаться инженер-программист, например. Или инженер-химик (как я, хотя я даже физхимик по базовой специальности был). Тут ещё легенда, что давать нужно "хронологически", вот как физика развивалась и под неё линейная алгебра прорабатывалась, так и давать. Но нет. Методологически нужно выделить современный срез, выкинуть всю историчность, а методически объяснять state-of-the-art, а не что там было пару веков назад. Это, замечу, плохо понимается, ибо делается ошибка дисциплина=курс="курс, которому меня учили три десятка лет назад, но я могу подкрутить пару-тройку теорем в зависимости от объёма часов". Что думают сами студенты про наличие дисциплин в их курсах — важно, но это отдельный вопрос. Для начала организаторы образования должны разобраться, что студентам важно. Им важно понятие поля, понятие функционала. Ибо без этого не прочтёшь ни одной технической книжки, там это на первой странице встретится. Вот и научить один раз. Научить всему тому, что может встретиться на первых десяти страницах любых технических книжек (а что там на остальных двухстах страницах встретится — это уже прикладные курсы, за ними можно и на мехамт учиться посылать, и в МФТИ).

"Колдунство" — это просто способ описания. Типы. Есть дверь, её описываем или как дырку с крышкой, или разрыв в плоскости, или "дверь" (и даём примеры), или ещё как-нибудь. И то же самое с движением, полем, фотоном. Это вопрос онтологический, а не колдунский. Вот этому и нужно учить, чтобы не описывать как "колдунство". Советую пройти курс онтологики, этому уже сейчас учим, хотя и не на примере математики-физики: https://system-school.ru/open-endedness

под "колдунством" я подразумевал то, что в обиходе мы жестко привязаны к границам, а на самом деле границ этих и нет — они все в нашем сознании. Если мы отвыкаем от разделения воздух/земля, то придумываем воздушного змея...

>огда они слышали "свет, отраженный от преломляющей среды", они не понимали, что под средой имеется в виду, например, вода. Они не понимали, что "направление распространения света" - это направление, в котором видишь что-то, когда смотришь на него, и т.д. Все только запоминалось, и ничего не переводилось в осмысленные понятия. Так что, если я спрашивал: "Что такое угол Брюстера?", я обращался к компьютеру с правильными ключевыми словами. Hо если я говорил: "Посмотрите на воду", - ничего не срабатывало. У них ничего не было закодировано под этими словами". Может это можно решить путем грамотного подбора и проработки задачек? А не просто задачи, где в формулы надо подставить соотв. значения. Т.е. тут именно отрыв теории от практики + отсутствие лаб или хотя бы их симуляция.

>Я бы попробовал ставить математическое мышление на примере теории графов: Я бы на примере евлкидовой геометрии и игры Euclidea как практики для закрепления — чистейшая логика и навыки применения абстракций (подобие и т.п. геометр. вещи).