Обсуждение

Спасибо за ссылку, интересно. Хотя я довольно быстро перешёл в мат. класс, и такие вещи как окружность девяти точек или методы построения циркулем и линейкой были для меня очень интересными (и кажется в обычной школе их нифига не проходили). Но мне вообще нравилась математика как таковая, сама по себе.

По основному вопросу: насколько мне известно, подход, предложенный Дьедонне (замена школьной геометрии линейной алгеброй) распространения в педагогических кругах не получил. В более широком смысле: известные мне введения в "современную математику"(вроде P. Aluffi "Algebra Chapter 0") изложены образом, для ребенка не подходящим.

Дмитрий же Павлов (на его домашней страничке расположен первый линк из приведенных) рекомендовал начинать с книги "Алгебра" Гельфанда, Шеня и "Начал теории множеств" Шеня. Для этих книг, как и для "Программирования" Шеня характерен практико-ориентированный подход, они дают возможность подружиться с предметом, а не просто почитать о предмете книгу. Наверное, такой стиль обучения - требующий "активного чтения" - лучшее, что можно предложить ребенку. Также книга "Что такое математика" Р. Куранта, хоть и была написана в середине прошлого века, дает хороший обзор области. Пусть и неполный, этот обзор в состоянии заинтересовать читающего.

Не устарел ли подход Дьедонне: изюминка подхода в том, что интуицию относительно объектов физического мира дети получают, скажем так, бесплатно. Линейная алгебра в его изложении дает возможность ознакомиться с областью не через полностью абстрактные сущности, а с опорой на эту интуицию. Линейная алгебра в предложенном им варианте потом гораздо легче обобщается до абстрактной алгебры. Этот подход плохо устаревает, так как опирается на интуицию о физическом мире и позволяет вводить в обиход математические абстракции инкрементно, from bottom to top, с возможностью немедленного практического приложения.

Это всё было верно 40 лет назад, и верно сейчас. Но не появилось ли за эти 40 лет чего-то такого же интуитивного и мощного, новых упрощающих различений с такой же возможностью введения абстракций инкрементно и немедленным практическим приложением? Вот же в чём устаревание, а не в методической сути. Я вот столкнулся, например, с намеренным отделением моделирования данных (вплоть до крайне позднего введения понятия переменной, и уж точно избегания введения понятия массив и строка) в курсе алгоритмики. Оказалось суперэффективно: модели данных и идея "памяти" были отданы в "исполнители", где воспринимались естественно и интуитивно. А основной тренинг шел для абстрактных "цикла", "условного оператора", "вспомогательного алгоритма" -- то есть основ процедурной парадигмы. Так и тут, фишка ведь в предлагаемых базовых понятиях и тренинге в этих базовых понятиях. Не появилось ли чего-то более базового и крутого за 40 лет -- типа того, что сам Дьедонне привёл для школы из открытий 40 лет до него? Как-то не верится в застой...

С того времени получила популярность теория категорий, выступающая в роли языка, пытающегося унифицировать разрозненные области математики. Однако её тяжело отнести к элементарной математике. Ближайшее к элементарной математике изложение приведено в книге одного из основателей, William Lawvere. (Lawvere, Schanuel, "Conceptual Mathematics"). Педагогическая ценность такого подхода недостаточно ясна. Из-за высокой абстрактности тяжело изложить идеи теории категорий на элементарном уровне так, чтобы они не воспринимались как abstract nonsense. Это хорошо видно на примере упомянутой выше книги: авторам приходится идти для достижения этой цели на разнообразные ухищрения. Легче работать с этими идеями, имея за плечами источники примеров, хотя бы линейную алгебру и теорию множеств, а лучше алгебраическую топологию.

Наиболее перспективным новшеством в деле обучения математике мне представляется появление компьютеров и предложенный интерактивный подход к обучению (Жан Пиаже, Сэймур Пэперт, конструкционизм).

Я бы заметил, что использование вместо циркуля и линейки компьютера в разы и разы упрощает педагогизацию линейно-алгебраических/геометрических предложений Дьедонне, но это не отвечает на вопрос про содержание образования средней школы. Я бы этот "компьютер" отнёс к дидактике, а не к сути. Про теорию категорий много сейчас говорится, но это пока интересно для профессиональных математиков -- мне же кажется, что критерий, предложенный Дьедонне для различения интересного для профессиональных математиков и школьного содержания, остаётся верным и через 40 лет.

Мне использование компьютера видится качественным изменением, именно для математики (для, например, биологии да, скорее количественное - более удобное медиа). Дети получают не только доступ к построениям и абстракциям, выразимых и с помощью плоского и статичного листа бумаги-циркуля, они получают способ делать конструктивную математику, строить почти любые математические объекты. Выражать математическую индукцию (соответственно, и рекурсию), реализовывать, например, основы комбинаторики в виде исполняемого кода. И всю остальную школьную математику. Ученик получает возможность не просто доказать теорему, а продемонстрировать, что это действительно так, оживить математику. А в старших классах при использовании методики сродни Software Foundations каждый ученик может получить собственного teaching assistant, персонального ассистента, доказателя теорем. У Пирса, автора курса, есть слайды, иллюстрирующие преимущества подхода, Proof Assistant as Teaching Assistant.

Ну, это очень похоже на предложения Вольфрама (он вообще считает, что учить нужно в средах типа Matematica -- и даже не потому, что он является владельцем выпускающей этот продукт фирмы, а потому как именно так нужно учить математику: чтобы комьпютер выполнял тупые вычисления, а школьник приобретал математическую интуицию). Это всё, кстати, близко к моей мысли, которую я у себя в ЖЖ неоднократно уже высказывал: в основании и математики (ага, неологицизм) и программирования (как в части алгоритмики, так и в части моделирования данных) лежит философская логика, и если ей учить явно, то можно существенно сэкономить общее время обучения. А среды типа Matematica и Coq показывают еще и глубокую связь программирования и логики-алгебры-математики. Курс программирования, на который вы показали, хорош для заявленных в нём целей. Весь вопрос, в каком классе школы это можно/нужно начинать учить, и какие должны быть задачи, чтобы не начинать с 20 страниц определений (мои знакомые преподаватели различают курсы школьные и вузовские именно так: вузовские курсы начинаются с 20 страниц определений, а школьные не имеют права это делать -- школьник теряет интерес уже после второго определения, которое он не может выучить впрок, не понимая, зачем оно введено и как его использовать на практике). У меня сильно поменялось мировоззрение с тех пор, как я увидел на своей памяти сначала опускание вузовского курса аж до седьмого класса школы, а затем (после дальнейшего разбирательства с возникающими проблемами) опускание этого же курса до начальной школы и даже кусками до детского сада. Я теперь считаю, что "вузовскость" любого курса нужно еще доказывать, а "школьность" принимаю по умолчанию: проблема обычно только в том, чтобы дидактически перепаковать содержание, подобрать задачи и объяснялки и подобрать правильную компьютерную среду в несколько ступенек-языков.

Посицельский прав абсолютно. Решать надо задачу "как учить математике моего ребёнка", а не "как учить математике в мире (стране)". Ещё можно решать задачу "как учить математике в основанной мною школе (детском саду, вузе".

Хороший вопрос. Я бы опирался на работы Matthias Felleisen. Книгу HtDP2e и среду, предоставляющую серию языков-ступенек Racket. С введением этого материала начиная с пятого класса. Оптимальную подготовку до этого возраста не представляю...

Математика - это язык. О чем можно говорить на языке Евклида хорошо видно. О чем можно говорить на языке Dieudonne ?

что всю жизнь говорил прозой. Почитав комменты, особенно triampurum: "По основному вопросу: насколько мне известно, подход, предложенный Дьедонне (замена школьной геометрии линейной алгеброй) распространения в педагогических кругах не получил." увидел, что в моей школе не то чтобы такая замена состоялась, но эквивалентность подходов мы уяснили и при решении задач, например, по физике пользовались тем, который эффективнее. Полный же уход в абстракции может пагубно сказаться на связи математики с практикой.

Ну, и как учить математике моего ребенка? Он ведь стремительно вылезает сейчас за рамки начальной школы -- а до ближайшей физматшколы еще три года чем-то нужно заниматься.

Спасибо за наводку! Я давно спрашивал, что есть из подходящего для школьников функционального/мультипарадигмального программирования, и никто еще не давал ссылок -- вы первый, кто дал что-то осмысленное.

Ну, и нужно было привести ссылку на постинг Посицельского, тут же не все читают его ленту: http://posic.livejournal.com/713352.html Я не согласен с его подходом. Он считает, что "рынок даст ответ" в каждом конкретном случае. Не даёт рынок ответа. Меня регулярно долбят с вопросами, какой гаджет купить: рынок даёт огромное число ответов, неподходящих конкретным людям, которые совершенно не способны осуществить разумный выбор. С образованием в области музыки, программирования и математики всё то же самое: рынок предложит и длинные неэффективные варианты, и сверхэффективные, чью эффективность мало кто сможет распознать в окружающем шуме. В итоге решение задачи "как учить математике моего конкретного ребенка" требует немалых знаний. Об этих знаниях я и пытаюсь тут рассуждать.

Да, согласен, математика, - это один из языков логики.Тогда начальный вопрос надо переформулировать: как вашего дитенка учить языку логики? А это приводит к общему вопросу: как овладевают языком (дети, взрослые, не важно, кто)? А это далее приводит к вопросу: а что такое язык (в отличие от речи, например,)? Иначе, не дав ответа про язык, нельзя дать ответ, как его осваивать. Кстати, мы эту тему уже обсуждали здесь и даже ругались с ailev. Вот теперь он вернулся к этому вопросу, но уже в ситуации со своим дитёнком. Может теперь, понималку лучше настроит и станет воспринимать и других, а не только своих американоанглосаксов, да их стандарты. Если, конечно, не готовит дитёнка к отъезду из России.

Книжку не читал, но осуждаю. Аналогия с кролем неуместна. На самом деле, отказ от Гильберта с Евклидом -- это не кроль, а скутер. Можно, в принципе, и счету не учить. Калькулятор всегда с собой, в мобильнике. А желающих подменить Евклида Декартом во все времена было море разливаное. Скажем, с устного вступительного экзамена на физтех любители доказать теорему косинусов через разность векторов валили струйно. И это при полном соблюдении местного правила:"пока мордой в грязи не вывозил, "неуд" ставить нельзя!". Вот о параллельном обучении "классической" и "вычислительной" геометрии можно говорить. И делать. Именно так сына учу. Что касается малолеток, то позволю себе обратить ваше внимание на книжку "Другая математика" (с)Александр Лобок.

Спасибо!

Не скажу об этом конкретном тексте Dieudonne, но вообще выдающийся математик Арнольд довольно едко издевался над формалистическим стилем французской математики и её преподавания. Например там была история о маленьком французском мальчике который не знал сколько будет 2+3, но знал что 2+3 = 3+2 потому что сложение коммутативно, или как студент Арнольда не мог сходу сказать больше ли 4/7 чем 1. Умножение целых a*b можно определить как подсчет клеток в прямоугольнике со сторонами a,b, тогда a*b=b*a очевидно. Но французы предпочтут определить умножение алгоритмом умножения в столбик, при этом a*b=b*a становится сложной теоремой, которую они героически доказывают - прививая детям отвращение к математике.

Насколько я знаю, от этого "царского пути в геометрию" получается больше вреда чем пользы. В геометрии важно видеть, подменять видение счётом во многих задачах вредно (усложняет понимание). А если человек уже освоил аналит, то переучивать его на геометрическое мышление трудно, т.к. он вроде бы уже всё знает.