Обсуждение

вот попроще: An introduction to Category Theory for Software Engineers а вот оригинал Баеза, для тех, кто по-английски читает: http://math.ucr.edu/home/baez/rosetta.pdf

Кстати, у Даркуса есть еще теор-категорные переводы (вот текущий список всех его переводов). Например "Мягкое введение в теорию категорий (вычислительный подход)"

Вот я почитал сцылку от 109 и так и не понял, чем Теория Категорий отличается от HOL систем. Не, ну понятно, что она отличается. Но задачи, которые они ставят, те же самые. Только для HOL уже есть работоспособные системы.

В ТК мы стараемся действовать без элементов (и соответственно, без кванторов). В частности, в конце моей статьи указано, как описать без кванторов cardinality constraints. Это очень большой бонус для онтологии (как философской системы). Например, в теории элементарных частиц нет понятия "состоит из". Нельзя сказать, что фотон "состоит из" электрона и позитрона, хотя есть процесс аннигиляции. Если онтология использует язык ТК, то она сможет обсуждать такие процессы без существенной потери точности.

Ну это скорее вопрос синтаксиса. Т.е. можно иметь несколько (эквивалентных) нотаций, одна будет с явными кванторами, другая без явных кванторов, но с переменными, а третья - в pointfree стиле.

познавательная статья, благодарю

Как-то не верится, что физическая система аналогична высказыванию в логике и типу данных(!) в вычислениях...

Ага, причем задается система Гильбертовым пространством, в это уже вообще не верится :) Теория категорий контринтуитивна. Этим начальным "не верится" она и хороша.

Есть программисткая книжка Стефанюка "Сотрудничающий компьютер", в которой ТК используется для построения экспертных систем.

Вот ее в электронном виде не нашел, а в http://www.infanata.com/2007/05/15/lokalnaja_organizacija_intellektualnykh_sistem.html -- там тоже есть раздельчик (попытка изложить в терминах теории категорий "сопоставление с образцом" и "продукции" в машинном обучении).

Thanks за ссылку. Я тоже в электронном виде не нашел, съездил за бумажной в издательство.

И как впечатления?

Хорошие. Хоть математическая сторона слишком упрощена - даже естественные преобразования упомянаются только в примечаниях.

"— Среди категорий существует какая-либо иерархия? Вопрос понятен. Я вас сразу должен разочаровать — нет. И, видимо, не может быть. Вы, фактически, спрашиваете меня нечто подобное следующему: есть ли иерархия среди наших человеческих инструментов? Каждый инструмент есть инструмент сам по себе. Но это есть предмет дискуссий в теории категорий. И в этом смысле я могу только рассказывать свою историю. Где-то в 60-е годы у меня была такая идея: вот было бы здорово сообразить, как категории иерархизированы, ранжированы... Так мои ученики из меня отбивную котлету сделали за это. В частности, О.И.Генисаретский говорил: «Некоторые думают, что можно категории иерархизировать и вообще привести в систему. Нельзя привести категории в систему. Они атомарны в принципе, как инструмент». И, вроде бы, это обеспечивает их, категорий, эффективность и вместе с тем подвижность и пластичность мышления. В этом смысле систематизация категорий делает их неработоспособными, т.е. сводит все к формальному знанию и разрушает мышление. <...> Я не знаю. У меня есть сомнения. Мне очень бы хотелось систематизировать категории. И я эту мысль не оставляю в силу своей настырности и упрямства. Но ученики мои меня за это презирают и говорят: «Нет, и не может быть! Этот чудак не понимает, что это же основное требование к категориям. Их мощь и заключена в том, что каждая категория — сама по себе». Я им привожу примеры того, как категории организуются в некоторые семейства, системы. Они каждый раз находят ошибки в моих рассуждениях: где-то что-то не учел, не досмотрел. Я не отказываюсь от этой мысли. Это было бы так здорово, если бы такая систематизация была возможна! Но с другой стороны, я понимаю их аргументы — что этого не может быть, поскольку этого не может быть никогда. <...> " Г.П.Щедровицкий Философия, методология, наука http://www.mmk-documentum.ru/archive/e-lib Файл gp88A.doc из DOC.rar

"Актуальные проблемы математических оснований физики включают в себя следующие. Проблема континуума. Традиционное геометрическое понятие точки до сих пор широко используется в физике, хотя оно и не имеет очевидной физической интерпретации. Как помыслить пространство без точек? Какой математический аппарат нужен для описания такого бесточечного пространства? Каков физический смысл математического понятия континуума? Проблема времени и пространства-времени. Пространство-время общей теории относительности с математической точки зрения представляет собой дифференцируемое многообразие, т.е. особого рода геометрическое пространство. Оправдана ли идея представления физического пространства-времени с помощью геометрического пространства? Возможно ли чисто математическое понятие пространства-времени, которое можно было бы использовать для представления физического пространства-времени, не прибегая при этом к "опространствливанию времени"? Проблема измерения. В современной физике результатами измерений почти всегда считаются действительные числа. Является ли такой принцип оправданным? Как он связан с эпистемологическими принципами физических измерений? Есть ли у него разумные альтернативы? Проблема природы логики. Логика традиционно считается системой априорных нормативных законов мышления и рассуждения, которые напрямую не связаны ни с какими физическими законами. С этой точки зрения логические принципы построения физической теории имеют более фундаментальное значение, чем любые физические принципы. Есть ли у такого традиционного взгляда разумные альтернативы?" Теория категорий и поиски новых математических оснований физики Автор А.В. Родин 29.07.2010 г. http://vphil.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=164&Itemid=52

А там не классификация. Там "доктрины" -- http://ncatlab.org/nlab/show/doctrine ;)

"Доктрина есть категорифицированная теория". Простой вопрос: сохраняется ли иерархия при категорификации?

Категорификация -- это что?! Там ведь просто объекты и стрелочки... Ну, еще функторы. Т.е. вам нужно сначало перевести "иерархию" (чего? классов или классов-классов? ведь по ним разные отношения -- по первым специализация, по вторым классификация) в теоркатегорные термины, а потом перезадать свой вопрос. Но я точно на него не отвечу. Я про иерархии еще понимаю, и много чего могу рассказать, а вот про теорию категорий -- даже не дилетант :)

Да я-то имел в виду простое соображение: теории внутри отрасли науки - иерархичны; если их генерализовать, переведя в теоркатегорный вид, тоже, вроде, должна получиться иерархия, но более высокого уровня. Или нет? Категорификация = генерализация? Roughly speaking, vertical categorification is a procedure in which structures are generalized from the context of set theory to category theory or from category theory to higher category theory. http://ncatlab.org/nlab/show/vertical+categorification

Вот чудный Баэз объясняет про декатегорификацию: Long ago, when shepherds wanted to see if two herds of sheep were isomorphic, they would look for an explicit isomorphism. In other words, they would line up both herds and try to match each sheep in one herd with a sheep in the other. But one day, along came a shepherd who invented decategorification. She realized 2 one could take each herd and ‘count’ it, setting up an isomorphism between it and some set of ‘numbers’, which were nonsense words like ‘one, two, three, . . . ’ specially designed for this purpose. By comparing the resulting numbers, she could show that two herds were isomorphic without explicitly establishing an isomorphism! In short, by decategorifying the category of finite sets, the set of natural numbers was invented. http://arxiv.org/pdf/math/9802029v1 Теперь осталось "подумать наоборот" и, может быть, я пойму, что такое категорификация...