Без заголовка
Я не говорю, что нужно сказать человеку "исследуй"! Я говорю, что нужно сказать человеку "сделай", и в ходе этого "сделай" с необходимостью будут возникать исследовательские задачи. "Исследовать" -- это не придумывать, это именно что открывать. Если вы что-то придумываете, то это вы делаете. "Сделать" -- это придумывать а) что сделать и б) как сделать, плюс еще и в) воплотить задуманное.
Про большую картину -- этим и занимаются онтологи. В промышленности сейчас появляются upper ontology в количестве: ISO 15926 (4D-онтология с темпоральными частями), ISO 186292 (утверждается, что в ее терминах удобно описывать процессы), Gellish (похожа во многих аспектах на онтологию из ISO 15926) и т.д.. (SUMO, CYC и несть им числа). Так что математика совершенно неодинока в своем строительстве "большой картинки", и можно пообсуждать, чем эта деятельность отличается от других, и почему онтологи, зная про математику, все-таки описывают реальность как-то по-другому, оставляя для математики веточки в гетерархиях своих понятий.
Насчет логики развития (а иногда говорят и -- построения) понятий тоже можно поспорить. Я вот не знаю, какой матаппарат держал свечку при рождении теории струн, но не исключаю, что при рождении этого матаппарата держала свечку какая-нибудь физическая теория, проблемами которой занимался автор того аппарата.
Движение науки не направлено, в отличие от движения инженерии -- и все эти "направления" задаются апостериори, а не априори. "Естественно" и "неестественно" не лучшие категории для описания процессов, в которых главными действующими лицами являются люди. Естественность или искусственность процесса зависит от точки зрения. Для какого-нибудь историка революция (а хоть и в науке) -- естественный процесс, а для главного революционера-бузотера эта революция процесс вполне искусственный. Естественность и искусственность -- две стороны одной и той же медали.
То, что погружение одних понятий в другой контекст очень плодотворно, известно давно. Это закреплено термином "approach". Например, соединение наработок теории систем с инженерией -- системный подход к инженерии -- дал саму системную инженерию. Различия в наших установках в том, что вы считаете, что те самые эллиптические кривые выдуманы... по случаю их выдумывания. А я считаю, что огромное количество вещей (самых интересных, нужных, полезных, оригинальных и т.д.) придумано не просто путем высасывания из пальца, а в целях решения какой-нибудь практической задачи. После выдумывания на той же задаче отработано до блеска, а затем уже поучаствует в каком-нибудь подходе -- а хоть и через 200 лет. Так что мой вопрос только в том, что эллиптические кривые получились в ходе решения каких задач? Ваш ответ -- никаких, из чистого интереса. А моя гипотеза, что КПД получения качественного результата при этом очень низок. Физики получают сейчас довольно много открытий (новых физических эффектов) в порядке решения абсолютно конкретных задач увеличения плотности упаковки для компьютерной памяти, для обеспечения ее энергонезависимости и т.д. В этом и математики поучаствовали -- для вероятностных схем была придумана какая-то специальная математика (но я не выяснял, совсем ли она новая, или была адаптирована какая-то давно известная -- мне ведь это неважно, мне важен сам принцип доработки математики под задачу. Иногда это будет мелкая доработка, а иногда и крупное математическое открытие, если мелких доработок не хватает).
Мы, конечно, сами творим мир и реальность. Но ежели кто-то придумал какую-то заумь, то можно поспорить, имеет ли эта заумь онтологический статус. Все-таки онтологии живут не в людях, а "промеж людей" -- и если заумью не пользуются, то ее как бы и нет. Мой тезис был такой: чтобы математические объекты не утрачивали связи с реальностью (т.е. существовали), они должны быть связаны с какой-то деятельностью, ими должны пользоваться. Пока высосанный из пальца "подход" не применен к практическим (а не "интересным" для математиков) задачам, его как бы и нет.