Без заголовка

То, что Вы описали во втором абзаце - это тоже способ построения категории. Только морфизмом будет не прямое преобразование из А в В, а преобразование обоих А и В в некоторое С. Причем такая категория сразу же, без промедлений, будет 2-категорией (о чем я и предупреждал). :)