Математика по заказу: представления и операции с ними
Жреческая бизнес-модель математики
У математиков в головах модель жречества: публика кормит жрецов, чтобы они проводили некоторые ритуалы, воспроизводя ритуалы, завещанные предками. От этого вроде должно быть всем процветание, никакими причинно-следственными цепочками и замерами на базе контрафактических предположений не подтверждённое. Тут пришли машины и продемонстрировали, что ритуалы эти вполне способны выполнять сами машины. Ну типа молитвенные барабаны у буддистов можно крутить руками, но можно молитву написать на винчестере -- и она будет возноситься со скоростью 7200 RPM, с эффектом вознесения молитвы того же качества. Дальше можно было бы обсудить пользу жречества с замерами и обсуждением причинности, возможность автоматизации поклонения, бизнес-модель общественного подаяния жрецам и т.д.
Мой подход тут всегда был в том, что математика должна заниматься инженерией: математическое мышление должно уметь производить новое математическое знание ("раздел математики") с нужными для какой-то физики или даже инженерии транзитом через физику свойствами. Текстов было много, возражения были яростные -- я явно был белой вороной со своим инженерным подходом. Всё-таки жречеству надо долго учиться, а выученные жрецы не будут снисходить до нужд простых смертных вроде меня, они служат богам, а от смертных берут только вознаграждение за свою учёность и удержание культуры, небольшую часть времени тратя на объяснения, что "так завещали предки, верьте, польза будет, возможно, в будущем, возможно, в загробной жизни для всех вас". Ну и обоснование какими-нибудь анекдотическими свидетельствами: "вот такой-то придумал такой-то трюк, а такой-то догадался его применить -- через двести лет после придумки. Вот так оно и работает, верьте". Дальше как в жречестве: обучают вере даже маленьких детей, не погружая их в собственно суть учения: учат воспроизводить рассуждения жрецов, не давая саму суть жреческой культуры (ибо и сами жрецы её сказать не могут, они ж мастера ритуалов, а не теологи-философы).
Сегодня не выдержал и написал коммент в сиолошной на соответствующий пост про OpenAI и её "незапрошенную помощь математикам" (пост https://t.me/c/1778093200/566657, коммент https://t.me/seeallochnaya/3981?comment=566664, там сейчас больше 60 реакций, попал в больной нерв): "Мы тут добывали огонь трением и копали палками-копалками, растили мастеров, а эти гады изобрели шведские спички и экскаватор! Забыли, что истинный огонь и истинное копание возможны только людьми, и задача людей — хранить культуру, не дать угаснуть традиции!" Я ещё написал про то, что делать со всеми этими доказательствами -- ибо не учить же их как стихи (https://t.me/seeallochnaya/3981?comment=566889, при этом детки доказательства в школе учат именно как стихи, это никого не смущает, а зря): "А что вы делаете с доказательствами того, что ваша программа работает? Протоколы тестирования как стихи наизусть учите? ))) Тесты, они и есть тесты. Сделали гипотезу, проверили. Если гипотеза подтвердилась — используете саму гипотезу (если она нужна для чего-то). Если не нужна — ну, сгорели ресурсы, мало ли на какие бесполезные проекты были потрачены огромные государственные (отобранные у налогоплательщиков) деньги, которыми кормили математиков. Если нужна — счастье, можно опереться на какую-то идею, она рабочая, проверено. ... Но всегда математики могут сделать этнографическую деревню как музей, где с 8:00 до 17:00 сидеть за столами и что-то там такое доказывать, демонстрируя поведение их племени разным школьникам, которых будут привозить беспилотными автобусами на экскурсию, рассказывая о трудностях интеллектуальной жизни".
Для формалистов могу сделать оговорку: разумеется, доказательство не равно прогону тестов, у них разные гарантии. Но ни то, ни другое не обязано исполняться человеком вручную ради сохранения самого ритуала. Заказчику нужны результат, условия его применимости и основания ему доверять. Ему не нужна "аутентичность способа производства, вам сделал доказательство потомственный мастер по рецепту, хранимому семьёй, из органических материалов".
Оправдывает ли способ производства в этнографической деревне затраты на её содержание? Окупят ли жизнь в ней выставляемые туристам в ларёк на продажу продукты этой деревни, или таки продукты никто не купит, а расходы можно возместить только деньгами от экскурсий для детей и ещё приплачивать сверху из налогов, отобранных силой у родителей? Математики в этой деревне роют случайно, "охота и собирательство" полезных решений, ибо пользу определяют односторонне -- "мне нравится, а кому это надо, неважно, пока мне за это платят". А инженеры — роют целенаправленно, "осёдлое земледелие, и ещё использование машин", причём роют туда, где есть шанс их труды окупить. Вот математика стараниями AI-агентов перешла к вот этой постановке задачи. Всё-таки выдвижение гипотез и их проверка доказательствами — не лотерея. Эволюция — ни разу не случайна (это сейчас часто обсуждают), но направление развития в культурной эволюции определяется таки приносимой агентам пользой -- рыночный механизм распределения усилий никто ещё не отменял. Коммунизм обречён, даже если его хотят математики. Агенты должны получить сигналы из среды, куда направлять их усилия. Заказ -- исполнение заказа, нет заказа по каким-то работам -- кушать нечего, ищи другие работы.
Основной тезис звучит про "воспроизводство". Эх, мне 68 лет, меня учили в школе писать пером № 11, чтобы почерк был хороший и с нажимом обязательно. Поэтому никаких авторучек. Шариковые ручки потом появились. Да, пишущие машинки редкость были, хотя книг полно. Я понял, что утерял важное умение! Полностью забыл древнее искусство писать пером, пользоваться непроливашкой-чернильницей так, чтобы не было клякс при этом. Я контркультурен, воспроизводство мясных каллиграфов на мне прекратилось! Где тут что-то пошло не так? У математиков мы можем это предотвратить! То же с землекопами — экскаваторщики вряд ли управятся нормально с лопатой при восьмичасовом рабочем дне, не воспроизводится эта культура.
Удивительно. Никто не говорит про нанесение непоправимой пользы математиками в их текущей массовости, но пекутся о воспроизводстве без уточнения, какая польза от этого воспроизводства, как будто такая польза чем-то гарантирована, кроме обещаний жрецов! Конечно, математика полезна -- но почему разговор не про развитие математики, а только про профсоюзную защиту математиков от техники (мягкая форма того же луддизма, "грузчики против подъёмных кранов")?
Для меня текущая ситуация открывает огромные возможности. Некоторым людям (вот мне, например) как раз нужен был доступ к нестроптивым, неснобистским математикам, которые вот просто берут поставленную им задачу — и решают её. Инженерам вроде так можно, даже физикам (кривятся, но делают) можно, а теперь математики-люди идут лесом, а задачи эти получат AI-агенты, а деньги пойдут не математикам, а энергокомпаниям, поставщикам чипов, поставщикам токенов и т.д. (инженерным фирмам в конечном итоге, работающим по заказу, а не по собственным хотелкам). Буквально сегодня мне агент написал в одном из планов ограничение: "реализовать это можно в меру доступа к мастерству в математике" -- я ему указал, что его замечание уже устарело, у него самого "доступа к мастерству в математике" (это Astra 6) хоть отбавляй, вон, математики-люди требуют как раз отбавить!
Давайте математику из цирка (ладно, спорта) математиков превратим в нормальную работу по заказам
Все именитые комментаторы отрицают, что разрабатываемая математиками математика может приносить какую-то пользу (физикам, например, и через физику — инженерам) иную, чем служить самим математикам материалом для их оторванной от чьих-то проблем игры в бисер. Вот взять их проблемы тысячелетия: если их решить, то кому-то от этого будет польза от самого решения. Скажем, пришла OpenAI и решила эти проблемы. Ура, ведь кому-то польза и за эту пользу не пришлось кому-то дополнительно платить? Искусство решать такие проблемы быстро при помощи AI никуда не делось, чем плохо-то? Искусство бегать босиком на скорость никуда ведь у людей не делось после изобретения самолёта! Иногда в нём даже соревнуются, что мешает математикам продолжать забавляться подобным в искусстве решать проблемы тысячелетия? Бизнес-модель? Ну, поменяйте бизнес-модель, в чём проблема? Сделайте из математики спорт, даже зрелищный спорт. Только не делайте вид, что этот спорт помогает как-то цивилизации иначе, чем лёгкая атлетика с контролем на допинг помогает цивилизации удерживать высокую скорость передвижения на планете.
Для меня удивительно, что в текущих спорах польза хоть кому-нибудь, кроме самих математиков, от решения проблем математики даже не рассматривается. Единственная польза от решения проблем математики вроде как состоит в тренировке мозга самих математиков, а цель -- воспроизводство текущих способов мышления математиков и текущего уклада их жреческой жизни: подношение за исполнение ритуалов, а цель -- не забыть сами ритуалы под обещание пользы в загробной жизни ("через двести лет вам, может быть, потребуется эта математика, уже несколько раз так было"). И дальше неизбежное занятие позиции луддитов. Почему не стали луддитами шахматисты, игроки в Го? Потому что они заранее знали, что им не продать своё искусство иначе, чем развлечение публики? Для них, конечно, это не развлечение, но оплачивают образ жизни профи в спорте -- зрители. Заказчиков на результаты игр нет, а если бы результаты были нужны, их бы получили при помощи компьютера. А так -- спорт — это тот же шоу-бизнес, спортсмены -- как артисты, живут на торговле впечатлениями зрителей. Но в спорте бегунам запрещают пользоваться велосипедами на соревнованиях или даже допинг использовать. А математикам вроде не запрещают (хотя на олимпиадах вроде запрещают -- спорт и тут есть).
Но это совершенно другая польза. Реальная польза -- это "вот тут нужна новая математика, есть $5000, сделайте раздельчик математики для моих задач". Вот такая польза математиками почему-то в нынешней дискуссии не рассматривается. Хотя вся инженерия именно на таком улетела в космос и построила АЭС, ни один инженер не возражал, что "ой, мои расчёты теперь делает компьютер, мою работу с металлом теперь делает робот". Это разница между реальной работой и работой спортсмена или артиста цирка, "демонстрацией достижений человека без инструментов". Ну, сделали бы цирк с математиками, родители водили бы туда детей демонстрировать возможности человека -- "вон смотри, какие трюки могут делать люди, если долго тренироваться!" Но на работе-то не цирковые артисты работают, на работе, наоборот, стараются снизить требования к квалификации людей, а желательно вообще заменить людей роботами. Прогресс именно так выглядит, не как развитие циркового искусства.
Так что у математиков (ну, как когда-то у телеграфистов) убыло, а у меня (как когда-то у телефонистов) прибыло: я могу заняться своими исследованиями, включив в них и математику. А те математики, которые играли в свои игрушки и на мои вопросы не отвлекались -- ну, мне теперь есть с кем поговорить, есть кого попросить в меру недельных лимитов. Мне не надо решать задачи тысячелетия, мои задачи попроще. Но они есть.
При этом моя оценка роли математики в развитии знания (и, соответственно, умения -- выход в физический мир важен) существенно отличается от той, которую дают сами математики и выкормленная этими жрецами паства. Она совпадает с точкой зрения физиков главным образом (например, в книгах Deutsch и Хренникова это было подробно, время от времени об этом пишет Ванчурин, подробно разбирал эту тему Андрей Родин и пытался заниматься этим Воеводский). У меня это написано в книжке "Интеллект-стек", а сейчас отражено в библиотеке FPF.
Заказные математические проекты: я этого хотел, и вот мне!
Ещё в «Инженерном статусе математики», 17 марта 2009 (https://ailev.livejournal.com/669463.html) я предлагал смотреть на математические объекты с инженерной стороны "выполнения заказа на разработку": для какой работы (каких методов решения каких проблем) они нужны и почему стоит конструировать именно такие объекты, а не другие, "в чём польза этих по сравнению с другими" (сейчас я бы вообще говорил о выборе на каком-нибудь Парето, но тогда я не был таким умным). Спор (на такие темы сотни комментов! Все же в школе изучали математику! А потом и в вузе высшую!) об открытии или изобретении математических сущностей и то ли изучении их свойств (как у исследователей в естественных науках, но с учётом аксиоматичности математики, хотя в экспериментальной математике можно было бы и о постулатных теориях поговорить), то ли порождении с заданными свойствами (как у инженеров!) как сути математического то ли исследования, то ли "проекта разработки" -- этот спор игнорировал инженерную ветку вообще. "Завещано не шибко грамотными предками", "мой не очень знающий дед терпел -- и нам велел", я вот так это понимаю.
Формализация должна чему-то помочь, и хорошо бы тут не в угадайку играть, а проектировать, чему и насколько помочь может та или иная формализация -- и эту формализацию надо уметь сделать. При этом надо явно обсуждать и всякие свойства формализаций. Формализация позволяет выделить общую структуру целого класса ситуаций. В этом смысле одна модель может сжать множество отдельных описаний, хотя сама формальная запись бывает длиннее неформального рассказа. Формальная модель позволяет перетащить решение затруднения в одной ситуации на решение затруднений в целом классе ситуаций -- грубо говоря, при формализации можно сформулировать какой-то закон, скажем, законы Ньютона или ОТО в физике, предложить уравнение Шрёдингера или хотя бы Максвелла.
Вот в этом надо разбираться, а дальше такое делать не по наитию, ожидая следующего Эйнштейна, который использует результаты следующего Римана, чтобы в бесконечном развитии заместить когда-то тоже бывшего "следующим" Ньютона, который использовал результаты когда-то тоже бывшего "следующим" Евклида.
Инженерный подход "синтеза по заданию" относится и к основаниям математики, они тут ничем не лучше. Если имеющийся набор объектов мешает выразить важное различие или выполнить нужную операцию, возникает задача развития самого аппарата. Физика и инженерия дают для этого содержательные поводы. В принципе, там ещё и computer science участвует, в книжках Deutsch это подчёркивается всё время, троица физика-математика-вычислительная наука. В моём посте о цифровых двойниках 4 января 2021 года (https://ailev.livejournal.com/1549559.html) я разбирал такую связку на моделировании физических систем: устройство системы, включая изменение её структуры, предъявляет требования к математике -- какие описания будут удобными для инженеров. Далее математическая модель требует вычислительных методов, которые требуют подходящих языков программирования, но также и (неожиданно) возможностей компилятора. Проблема из физического мира способна пройти довольно далеко в основания компьютерной науки -- через физику, через математику, дальше вроде "только посчитать", и вот тут тоже надо уметь описать, что и как считать, но уже не формулами, а машинным кодом.
При этом математики тоже могут предложить идеальные конструкции, с которыми как онтологическим описанием можно увидеть в предмете что-то ранее неразличимое. Сначала появляется хороший математический объект, затем выясняется, какие вопросы о мире с его помощью удаётся поставить. Ванчурин писал, что математики придумали кучу полезных для физиков объектов -- и недостаток математического мышления не позволяет большинству физиков этими придумками воспользоваться, а зря (https://t.me/neuralphysics/1032). В работах Андрея Родина о незавершённом проекте Воеводского (https://arxiv.org/abs/2012.01150) меня интересует именно эта возможность: новые содержательные задачи и новая математика развиваются совместно. У нас уже много хорошей математики, для которой ещё предстоит найти столь же хорошую предметную работу -- это всё равно "охота и собирательство". Мой тезис в том, что вполне может существовать математика получше, для которой предметная работа будет просто основанием построить её по запросу. Не подобрать под математику свой вариант "физики" (естественной науки, опирающейся на математическое выражение своих законов, допускающее "вычислить прогноз и затем проверить в эксперименте"), а наоборот -- под запрос какой-то естественной науки построить подходящую математику.
Я об этом всё время размышляю, например, вот тот мой пост апреля 2025 (https://ailev.livejournal.com/1763043.html), где я цитировал математический манифест Ванчурина, но ещё и в очередной раз рассказывал, как математика должна помогать естественным наукам -- там комментирую дискуссию о связи физики и математики в чате о типах в языках программирования, моделирования, представления данных и жизни, даю много ссылок на интересные работы. В апреле 2025 года можно было только мечтать о том, чтобы дать этот текст AI-агенту и сказать "Программируй". Сейчас другой момент, и надо этим моментом пользоваться. Все эти отложенные когда-то ввиду полного недостатка ресурсов и существенного недостатка математической экспертизы работы надо просто брать, освежать постановку задачи -- и делать.
Мой заказ математикам (как я понимаю, не очень живым, но меня этот аспект не волнует, хоть лаптем пусть выполняют, лишь бы быстро и недорого) -- прежде всего сделать математику представлений. Надо найти удобные математические объекты для выражения продвинутой онтологии ("что в жизни") и продвинутых онтологических описаний (представлений, "что в идеальных объектах"), включая онтологию самих представлений, в том числе онтологию и онтологические описания языков и семиотики. Обычно эта тема в инженерии идёт как тема множественности архитектурных описаний, но вообще-то эти описания не всегда архитектурны, а дальше всё одно -- описания в нейросетях, описания в самых разных нотациях, описания картинками, а не текстами, голограммами и т.д. И всякие операции с описаниями, включая "модели -- это описания". Это линия "онтологизация, моделирование, программирование -- это одно", линия "информатики", как я это называл в 2012 году -- https://ailev.livejournal.com/1008054.html.
Зачем мне математика для представлений
Работу для такой математики для представлений удобно показать на архитектуре технической системы, вроде насосного агрегата. Конструктивные части, функциональное описание "как оно там работает" и "как оно там выполняет функции в надсистеме" -- они описываются разными моделями. В одном виде хорошо заметны соединение компонентов и интерфейсы, в другом видны режимы работы и смена состояний, в третьем обнаруживаются ограничения как целого -- на питание или пропускную способность. Вопрос о реализуемости архитектуры требует совместного использования всех этих описаний в их взаимосвязи. И нужно бы иметь способ провести вычисление надо всеми этими описаниями по каким-то формулам и сказать: "чтобы работало оптимально, надо поправить в описаниях вот тут, тут и тут, и можно дальше воплощать с вот такой-то уверенностью".
Скажем, у трёх компонентов по два режима. Одно представление задаёт, что первый и второй компоненты работают в одинаковом режиме, другое связывает одинаковостью второй и третий компоненты, а третье, наоборот, считает допустимыми только разные режимы первого и третьего компонентов. Удовлетворить любым двум описаниям допустимости режимов -- можно, удовлетворить всем трём -- нет. Проверка соответствия каждому описанию по отдельности пропустила бы невозможность работы всей системы, но вот эту несовместимость хорошо бы отлавливать какой-то математикой.
Здесь видны сразу несколько задач. Нужно выбрать математический объект, хорошо выражающий сами ограничения и способы определения допустимости их совместности. Далее нужны математические объекты для задания допустимых преобразований используемых совместно инженерных представлений системы и её окружения. Из вычисления далее нужно будет получать характеристику, позволяющую принять архитектурное техническое решение по поводу системы. Затем можно исследовать, как устранить возможную несовместимость: изменить ожидаемые от системы характеристики с утопических на реальные ввиду невозможности их достижения, изменить связи компонентов, изменить подсистемы-компоненты. Для продуктивного задействования математики в этом простом случае инженеру достаточно применить аппарат решения уравнений. Алгебраический взгляд дополнительно заставит выделить инвариант и направление обобщения, но этот более богатый аппарат должен показать свой дополнительный результат, окупающий его применение (полная стоимость владения матаппаратом включает сложность его освоения, сложность его применения и частоту применения -- далее надо понять, насколько этот матаппарат позволяет хоть что-то сэкономить за счёт предотвращения рисков, переводов экспериментов с дорогим и/или опасным оборудованием в физическом мире в дешёвые вычисления, и т.д.). Математика разных представлений системы должна позволять выражать, что происходит с этими разными представлениями в ходе инженерного процесса -- и она должна предсказывать свойства результатов, получаемых разными представлениями системы.
Другая задача возникает при публикации. У инженера есть модель системы, расчёт режимов, объяснение "как работает", но ещё инженер делает короткий текст на основе всех этих представлений: для человека, который принимает какое-то решение по поводу проектируемой системы. Все три представления могут быть корректны для своих целей. Но что должен сохранять короткий текст с их совместным описанием, чтобы по нему можно было обоснованно выбрать вариант? Когда надо этот короткий текст сделать чуть длиннее, чтобы принятие решения было осмысленным? Тут ведь не всё равно, какое решение будет принято: выбор сохраняемых коротким текстом частей имеющихся моделей (то есть частей имеющихся описаний системы) зависит от дальнейшей работы читателя -- того, какие решения надо принять. И это тоже надо уметь описать, тоже надо уметь формализовать, чтобы потом можно было "просто вычислять", а не гадать.
Пример с тремя компонентами показывает, какой именно выигрыш меня интересует: из организации нескольких описаний можно получить вывод о предмете, которого ни одно описание по отдельности не давало. Если бы иметь математику представлений, можно было бы "получать вывод" каким-то вычислением, а не "интуитивными догадками опытных экспертов".
Вот такой у меня заказ. Теперь, когда появился доступ к не очень живым математикам, можно перестать обсуждать, заинтересует ли он математиков живых, а просто заняться постановкой задачи. В следующем тексте расскажу, какую математику для этого присматривал и что именно хотел бы от неё получить.
